1. 集合的定义及选择公理¶

1.1. 集合的定义¶

集合论是由G.Cantor在19世纪80年代创立的。

集合(set)是指把具有某种特征或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这个整体就称为集合，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素。

以我经验来看，大部分人对集合的概念比较熟悉。在中国，高中生就开始学习集合，了解确定性，互异性，无序性等集合性质。

但对于这个定义，大部分人可能理解得不是很透彻。这里我通过选择公理，加深对集合的理解。

选择公理是一条集合论的公理。它的内容很简单，大意是：给定一系列非空集合，总可以从每一个集合中选择一个元素，这些元素组成一个新的集合。举个例子，假设有许多双鞋(甚至无数双鞋)，每双鞋看作一个集合，那么我们可以从每双鞋中选择一只鞋，选出来的鞋可以组成一个集合。

这样一条公理看起来没有任何问题，但实际上选择公理一直存在争议。其中一个争议就是与集合的定义有冲突。

集合的定义中，集合的元素要求具有某种特征或满足一定性质。而对于选择公理我们得到的“集合”，由于我们并不知道这个“集合”中有哪些元素，所以我们更不知道这些元素具有什么特征或满足什么性质，故我们得到的并不是严格意义上的集合。

当我第一次听到这番说辞时，我觉得简直就是鸡蛋里挑骨头。后来通过不断地接触数学，我才发觉，数学就是一场逻辑，这逻辑要足够精确，才能一环套一环，得到正确的结论。而如果哪一环出现问题，就可能导致之后的整个推理崩塌。