1. 拓扑空间的定义¶

1.1. 集合的结构¶

当我们有一个集合 \(X\) ，里面有元素 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) . 我们可以研究这个集合的什么性质呢？在集合论中提到，我们可以研究这个集合的基数，即元素的个数。然后呢？我们还要研究什么？

我们往往还想了解元素之间的关系，哪些元素关系近，哪些元素关系远。比如我们把全校所有学生作为一个集合，我们知道其中一些学生是同一专业的，这些学生关系比较近。我们应该如何形式化表达这样的结构。

一种思路是定义一个距离函数 \(d\) , 距离函数输入是集合中的两个元素，输出可以是一个实数，实数的大小表示两个元素距离的远近。

对于距离函数，我们马上发现有很多不方便的地方。假如集合中的元素不是数；我们如何定义输出实数的值，等等问题。

拓扑找到了一种更一般的方法定义集合上的结构。如果 \(x_1, x_2\) 有关系，我们可以再定义一个集合 \(\{x_1, x_2\}\) . 这个集合是全集 \(X\) 的子集。同理， \(X\) 的其他子集表现了其他元素的关系，如 \(\{x_2, x_3, x_4\}\) 表示 \(x_2, x_3, x_4\) 这三个元素是有关系的。这样，我们合理地选择 \(X\) 的一部分子集，就能把 \(X\) 上的结构表达清楚。对于这些子集，我们可以让它们组成一个集合，成为 子集族 ，记作 \(\tau\) . 如 \(\tau = \{\{x_1, x_2\}, \{x_2, x_3, x_4\}, \dots\}\)

这样我们仅通过集合就定义了 \(X\) 上的结构。在上述的构造过程中，我们发现我们能随便选择子集作为 \(\tau\) 中的元素。但对于拓扑结构，我们要求选择的子集具有一定的性质。即对于拓扑学，我们只研究全集 \(X\) 的一部分结构。下面我们看看拓扑结构是什么样的。

1.2. 拓扑的定义¶

设 \(X\) 是一个非空集合，记 \(2^X\) 是 \(X\) 的幂集，即以 \(X\) 的所有子集（包含空集 \(\phi\) 和 \(X\) 自己）为成员的集合。把 \(2^X\) 的子集（即以X的一部分子集为成员的集合）成为 \(X\) 的子集族。

定义

设 \(X\) 是一非空集合， \(X\) 的一个子集族 \(\tau\) 称为 \(X\) 的一个拓扑，如果它满足：

\(X, \phi\) 都包含在 \(\tau\) 中；
\(\tau\) 中任意多个成员的并集仍在 \(\tau\) 中；

3. \(\tau\) 中有限多个成员的交集仍在 \(\tau\) 中。集合 \(X\) 和它的一个拓扑 \(\tau\) 一起称为一个 拓扑空间 ，记作 \((X, \tau)\) .称 \(\tau\) 中的成员为这个拓扑空间的开集。

初学者肯定疑问这三个条件是如何得到的。这里只能说，对于数学的发展，很多概念是反反复复确定下来的。可能存在另外的条件，但是那些条件要么不是很有趣，得不到有用的结论，要么就是人类还没发现。总之，对于这个定义，我们只能先暂时接收，看看这样的条件可以得到哪些结论。

1.3. 开集与闭集¶

读者可能已经发现，在这个定义中，我们定义的开集。没错，我们熟悉的开集就是这里定义的。对于一维欧几里得空间，开集就是开区间的并集，当然，一个开区间也是开集。那么自然会问，欧式空间是拓扑空间，答案是肯定。（欧式空间是很复杂的，我们之后再详细介绍）。

有了开集，那我们如何定义闭集呢。很简单，开集的补集就是闭集。这里求补集是对于全空间X求补集。

Note

开集和闭集相交并不是空的，有些集合既属于开集也属于闭集，如空集，由条件1，空集是开集。同时由条件1，全集是开集，全集的补集空集为闭集。故空集既是开集也是闭集。同理全集既开也闭。

这里我们简单地用开区间理解一下条件2和条件3. 为什么条件2是任意并，条件3是可数交。首先对于开集，我们发现开集的任意并还是开区间的并，仍然是开集。可是，开区间的任意交可能交出闭集。如 \(\bigcup_{n=1}^\infty (-\frac{1}{n}, 1) = [0, 1)\) .当可数交则不会产生这样的问题。其实对于条件3，可数交是开集等价于任意两个开集的交仍是开集。

Note

对于拓扑空间的性质和结论，我们可以将欧式空间作为一个例子直观地感受一下。但拓扑空间是一种一般化的空间，在学习过程中应该更关注自身的逻辑。

1.4. 总结¶

拓扑空间子集族幂集开集闭集